常见的概率分布
1. 离散型分布
1.1 两点分布（伯努利分布/贝努利分布/0-1分布）
称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的伯努利分布，如果它分别以概率 \(p\) 和 \(1-p\) 取 1 和 0 为值。
\[P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1\\
X\sim B(1,p)\\
E(X)=p\\
D(X)=p(1-p)
\]
1.2 二项分布
n次独立的伯努利试验。如果事件发生的概率是 \(p\)，n次独立重复试验中发生k次的概率是（有放回抽样）
\[P(X=k)=\mathrm C_n^k p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,...,n\\
X\sim B(n,p)\\
E(X)=np\\
D(X)=np(1-p)
\]
有 \(n\) 件产品，其中 \(m\) 件次品 (\(m 关于为什么不放回抽样每次抽出次品的概率相同，见文末。 1.3 几何分布 在n次伯努利试验中，试验k次才第一次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当 \(r=1\) 时的特例 \[P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,...\\ X \sim GE(p)\\ E(X)=\frac{1}{p}\\ D(X)=\frac{1-p}{p^2} \] 例：某产品的合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数 \(X\sim GE(0.05)\) 1.4 帕斯卡分布（负二项分布） 在重复独立的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为 \(p\)，若将试验进行到出现 \(r\) (\(r\) 为常数) 次成功为止，以随机变量 \(X\) 表示所需试验次数， \[P(X=k)=\mathrm C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}, \quad k=r,r+1,...\\ E(X)=\frac{r}{p} \] （当 \(r\) 是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布） 1.5 超几何分布 从 N 个物件中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回抽样）。 \(X\sim H(N,M,n)\) 产品抽样检查中，假定在 N 件产品中有 M 件不合格品，即不合格率为 \(\frac{M}{N}\)，在产品中随机抽 n 件进行检查，发现 k 件不合格品的概率为 \[P(X=k)=\frac{\mathrm C_M^k \mathrm C_{N-M}^{n-k}}{\mathrm C_N^n},\quad k=0,1,...,min\{n,M\}\\ E(X)=\frac{nM}{N}\\ D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-m}{N-1} \] 1.6 泊松分布 泊松分布适用于描述单位时间内随机事件发生的次数，泊松分布的参数 \(\lambda\) 是单位时间内随机事件的平均发生次数。 \[P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,...\\ E(X)=\lambda\\ D(X)=\lambda \] 特征函数：\(\Psi(t)=\exp\{\lambda(e^{it}-1)\}\) 2. 连续型分布 2.1 均匀分布 \(U(a,b)\) 密度函数： \[f(x)=\left\{ \begin{aligned}